Hallo, guten Morgen. Wir haben gerade begonnen, uns die Quantenfeldtheorie zu erarbeiten, aber

der erste Schritt ist ein kleiner Schritt, das heißt, wir haben einfach nur zwei harmonische

Oszillatoren, die wir miteinander koppeln. Okay, das sind die beiden harmonischen Oszillatoren,

sagen wir mit einer Frequenz Omega 1 und Omega 2 und einer vorgegebenen Koppelung. Und der erste

Schritt bei der quantenmechanischen Behandlung war der zu sagen, wir wissen ja schon, wie wir

jeden harmonischen Oszillator einzeln behandeln. Das heißt, da kennen wir die Energieeigenzustände,

wir wissen, die Energie ist H quer Omega pro Energiequantum und wir müssen einfach nur die

Basiszustände durchnummerieren, indem wir sagen, da sind N gleich 0, 1, 2, 3 und so weiter Energiequanten

in dem betreffenden Oszillator. Und das bedeutet, wir werden dann dieses System aus zwei Oszillatoren

so behandeln, dass wir sagen, wir haben eine Basis, die nummerieren wir jetzt durch, indem wir

gleichzeitig angeben, wie viel Energiequanten sind denn im ersten und wie viel sind denn im zweiten.

Das heißt, wir haben N1 und N2 gleichzeitig anzugeben. Und das ist zu verstehen im Sinne von einer

Produktbasis, das heißt, dieser Zustand ist ein Produkt aus den einzelnen Zuständen, die jeweils

die Energieeigenbasis für den ersten und den zweiten Oszillator darstellt. Und das bedeutet zum

Beispiel, wenn ich im ersten Oszillator ein Quantum vernichte, indem ich den Vernichter

darauf anwende auf diesen Zustand, dann passiert tatsächlich nichts mit dem zweiten Oszillator und

im ersten Oszillator wird die Zahl der Anregungsquanten um eins erniedrigt. Und ich bekomme auch das

entsprechende Matrixelement, was wir schon kennen, als wir uns den einzelnen Oszillator angeschaut

haben. Das heißt, wird den vernichter, zum Beispiel steht hier dann Wurzel aus N1. Und wenn man das so

definiert, entsprechend für A2, dann wird man finden, dass A1 und A2 in gewissem Sinne

unabhängig sind. Das dann zum Beispiel gilt A1 Kommutator mit A2 Kreuz ist gleich Null. Das heißt,

die wissen nichts voneinander, die kommunizieren aneinander vorbei, die sind völlig unabhängig.

Oder allgemeiner gesprochen kann man sagen, Ai Aj Kreuz Kommutator ist ein Kroneckerdelta. Das

heißt, ich bekomme dann etwas, wenn i gleich j ist. Wenn ich hier zum Beispiel stehen habe A1

Kommutator mit A1 Kreuz, dann bekomme ich 1, denn das ist das Ergebnis, was ich auch schon erwarte für

den einzelnen Oszillator. Und noch allgemeiner, wenn ich nur die vernichter nehme, das heißt Ai und Aj,

dann kommt immer Null. Jetzt kann man, bevor ich den Hamilton-Operator hinschreibe, können wir

uns überlegen, wie wir diese Basiszustände darstellen. Es gibt viele verschiedene grafische

Arten, das zu tun. Aber eine mögliche wäre die folgende. Man könnte sagen, hier ist der erste

Oszillator und wenn N1 jetzt zum Beispiel gleich 4 ist, dann sage ich, da sind 4 Energiequanten in

dem Oszillator. Das male ich so, als ob da 4 Teilchen sind. Und entsprechend dem zweiten Oszillator

sagen wir mal, das ist gerade nur ein Energiequantum. Und das heißt, dieses Ganze hier wäre eine

grafische Darstellung für den Zustand, der geschrieben wird als 4,1. Und dann kann man sich

überlegen, auch ohne die Details zu kennen, einfach aus der physikalischen Anschauung, was

sollte denn passieren, wenn ich jetzt eine Kopplung einfüge. Klassisch erwarte ich, dass Energie

übergehen kann vom einen zum anderen Oszillator. Das heißt, insbesondere zum Beispiel könnte es

hier passieren, dass ein Energiequantum von dem Oszillator 1 auf dem Oszillator 2 übergeht.

Das würde ich grafisch einfach so machen. Das bedeutet, aus diesem Zustand wird ein anderer

Zustand, wo ich links entsprechend nur noch 3 habe und rechts sind es jetzt 2 geworden.

Und das ist dann entsprechend der Zustand 3,2. Das heißt, wir erwarten solche Übergänge.

Der Hamilton-Operator sollte solche Übergänge erzeugen, bei denen Energie ausgetauscht wird.

Den Hamilton-Operator kennen wir schon. Den hatten wir zuerst hingeschrieben, wirklich

mit Impuls und Ort und einer Kopplung zwischen den Orten, wie wir das klassisch erwarten,

mit einer Feder. Und dann hatten wir das aber dargestellt durch diese Erzeuger und

Vernichter für die einzelnen Oszillatoren. Und das bedeutete der Hamilton-Operator war

der Rhe omega 1 mal a1 Kreuz a1. Das ist also die einfache ungestörte Energie des ersten

Oszillators plus dasselbe für den zweiten. Und dann der Kopplungsterm. Der Kopplungsterm

war der, der entstand, wenn wir eine klassische Feder ansetzen und haben dann eine Energie

x1 minus x2 zum Quadrat. Und der wesentliche Term dabei ist der Mischterm x1 mal x2. Das

x1 mal x2 kann ich jetzt auch ausdrücken durch die Erzeuger und Vernichter. Und dann steht